Álgebra Linear para Computação Quântica

Nota

Material extraído do TCC Computação Quântica: Uma abordagem para estudantes de graduação em Ciências Exatas, de Giovani Goraiebe Pollachini.

NESTE capítulo, um resumo de Álgebra Linear voltado para Computação Quântica é apresentado. A teoria é apresentada usando-se a notação de Dirac, ou, notação de braket, uma notação utilizada largamente em Mecânica Quântica e que será necessária para o restante do trabalho. Essa notação é conveniente para se fazer contas e faz com que as diversas operações possíveis se encaixem naturalmente.

Na Álgebra Linear abstrata, pode-se considerar espaços vetoriais sobre diversos corpos (ou escalares), que são estruturas algébricas com propriedades semelhantes aos números reais e complexos. Os espaços vetoriais podem ter dimensão finita ou infinita.

Na Computação Quântica o interesse é voltado a espaços vetoriais de dimensão finita sobre o corpo dos números complexos. Isso permite a identificação do espaço com as \(n\)-uplas de números complexos, o que simplifica grandemente a teoria. Os resultados resumidos neste capítulo estão situados nesse contexto.

A principal referência para esse capítulo é [NC10]. Outra referência muito útil é [Lim21], que possui um capítulo voltado a espaços vetoriais complexos. Livros texto clássicos de Álgebra Linear, como [SW09] também são úteis. Embora tenham ênfase em espaços vetoriais reais, a maioria das definições, resultados e demonstrações se transporta integralmente para os espaços vetoriais complexos.

Será considerado um pré-requisito a este texto um curso de Álgebra Linear ao nível de graduação abordando-se os seguintes itens: espaços vetoriais, base e dimensão, transformações lineares, autovalores e autovetores. Por ter um caráter de resumo, os resultados apresentados, via de regra, não são acompanhados de suas demonstrações, as quais podem ser encontradas nos livros mencionados no parágrafo anterior.

Notação de Dirac

Como mencionado, neste trabalho será utilizada a notação de Dirac ou notação de Braket. Esta notação é uma forma compacta de representar vetores, permitindo representar cálculos e operações de forma mais compacta e intuitiva.

Esta notação consiste de 2 representações: o ket \(\ket{\cdot}\) e o bra \(\bra{\cdot}\)

Ket

O ket representa um vetor coluna, isto é, um vetor com uma única coluna:

\[\begin{split} \ket{\psi} = \begin{bmatrix} z_0 \\ z_1 \\ \vdots \\ z_{n-1} \end{bmatrix} \end{split}\]

Este vetor lê-se como ket \(\psi\).

Bra

O bra representa o ket\(^\dagger\), onde \(\dagger\) (adaga/dagger) é equivalente às operações de conjugação e transposição. Portanto, bra será o vetor linha cujos sinais das partes imaginárias serão opostos ao do ket:

\[ \bra{\psi} = \ket{\psi}^\dagger = \begin{bmatrix} z_{0}^{*} & z_{1}^{*} & \cdots & z_{n-1}^{*} \end{bmatrix} \]

Este vetor lê-se como bra \(\psi\).

Exemplo

Dado um vetor \(v\), onde:

\[\begin{split} v = \begin{bmatrix} 3 + 9i \\ 19 - 8i \end{bmatrix} \end{split}\]

Temos que:

O ket é o vetor em forma de coluna:

\[\begin{split} \ket{v} = \begin{bmatrix} 3 + 9i \\ 19 - 8i \end{bmatrix} \end{split}\]

O bra é obtido aplicando o operador \(\dagger\) (transposição + conjugação):

\[\begin{split} \bra{v} = \ket{v}^\dagger = (\ket{v}^*)^T = \begin{bmatrix} 3 - 9i \\ 19 + 8i \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 3 - 9i & 19 + 8i \end{bmatrix} \end{split}\]