Exercícios para Consolidação#
Nota
Material extraído das listas de exercício da matéria FSC7152 – Computação Quântica I ministradas pelo Prof. Dr. Eduardo Inacio Duzzioni.
1. Considere os estados genéricos de um qubit#
\[
\ket{\psi} = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1}
\]
\[
\ket{\phi} = \gamma \ket{0} + \delta \ket{1}
\]
em que \(\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{C}\), verifique as desigualdades abaixo:
a) Desigualdade de Cauchy-Schwarz:#
\[
\left| \bra{\psi}\ket{\phi} \right| \leq | \ket{\psi} | \cdot | \ket{\phi} |
\]
b) Desigualdade triangular:#
\[
| \ket{\psi} + \ket{\phi} | \leq | \ket{\psi} | + | \ket{\phi} |
\]
2. Ache um estado ortogonal a:#
\[
\ket{\psi} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\ket{0} + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\phi}\ket{1}
\]
onde \(0 \leq \theta \leq \pi\) e \(0 \leq \phi < 2\pi\).
3. Demonstre as seguintes propriedades:#
a)#
\[
(A^\dagger)^\dagger = A
\]
b)#
\[
(\lambda A)^\dagger = \lambda^* A^\dagger
\]
c)#
\[
(A + B)^\dagger = A^\dagger + B^\dagger
\]
d)#
\[
(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger
\]
e)#
\[
(\ket{\psi}\bra{\phi})^\dagger = \ket{\phi}\bra{\psi}
\]
4. Escreva as matrizes de Pauli \({X, Y, Z}\) e o operador identidade \(I\) utilizando a representação de produto externo usando a base canônica:#
\[\begin{split}
\ket{0} =
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
\quad
\ket{1} =
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
\end{split}\]
a)#
\[\begin{split}
X =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\end{split}\]
b)#
\[\begin{split}
Y =
\begin{bmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{bmatrix}
\end{split}\]
c)#
\[\begin{split}
Z =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\end{split}\]
d)#
\[\begin{split}
I =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{split}\]
5. Sendo \(P\) um projetor, mostre que:#
a)#
\[
Q = 1 - P
\]
também é um projetor.
b)#
\[
[Q, P] = 0
\]
c)#
\[
P \ket{\phi} \perp Q \ket{\phi}
\]
d) Interprete o resultado.#
6. Ache os autovetores e autovalores das matrizes.#
a) Porta lógica de Hadamard#
\[\begin{split}
H = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
\end{split}\]
b) Porta lógica \(X\)#
\[\begin{split}
X =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\end{split}\]
c) Porta lógica \(Y\) (Pauli \(Y\))#
\[\begin{split}
Y =
\begin{bmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{bmatrix}
\end{split}\]
d) Porta lógica \(Z\) (Pauli \(Z\))#
\[\begin{split}
Z =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\end{split}\]
e) Porta lógica CNOT#
\[\begin{split}
CNOT =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\end{split}\]
7. Considere duas bases ortonormais definidas por:#
\[
{\ket{u_i}} \quad \text{e} \quad {\ket{v_j}}, \quad i, j = 1, \dots, n
\]
Mostre que o operador
\[
M = \sum_{k=1}^{n} \ket{u_k}\bra{v_k}
\]
é unitário e responsável pela mudança da base \({\ket{v_i}}\) para a base \({\ket{u_j}}\).
8. Mostre que os estados de Bell, descritos abaixo, formam uma base para um espaço vetorial de 4 dimensões.#
\[
\ket{\Phi^+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00} + \ket{11})
\]
\[
\ket{\Phi^-} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00} - \ket{11})
\]
\[
\ket{\Psi^+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01} + \ket{10})
\]
\[
\ket{\Psi^-} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01} - \ket{10})
\]
9. Calcule as matrizes e vetores resultantes das operações de produto tensorial:#
a) Produto tensorial de matrizes:#
i.
\[
X \otimes I
\]
ii.
\[
X \otimes X
\]
iii.
\[
H \otimes I
\]
iv.
\[
H \otimes H
\]
v.
\[
I \otimes Z
\]
vi.
\[
Z \otimes Z
\]
vii.
\[
I \otimes Z \otimes Z
\]
viii.
\[
\ket{0}\bra{0} \otimes \ket{0}\bra{0}
\]
ix.
\[
\ket{0}\bra{0} \otimes \ket{1}\bra{1}
\]
x.
\[
I \otimes \ket{0}\bra{0}
\]
b) Produto tensorial de vetores:#
\[
{\ket{0}, \ket{1}} \otimes {\ket{0}, \ket{1}} \otimes {\ket{0}, \ket{1}}
\]
10. Obtenha a expressão matricial para os seguintes operadores:#
a)#
\[
\sqrt{Y}
\]
em que \(Y\) é a porta lógica definida no exercício acima.
b)#
\[
e^{i\theta X}
\]
em que \(X\) é a porta lógica definida no exercício acima.
c)#
\[
\sqrt{SWAP}
\]
em que
\[\begin{split}
SWAP =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{split}\]