2a Lista de Exercícios

Nota

Material extraído das listas de exercício da matéria FSC5172 – Computação Quântica I ministradas pelo Prof. Dr. Eduardo Inacio Duzzioni.

1. Uma rotação do estado de um qubit por um ângulo \(\phi\) em torno de um eixo apontando na direção \(\hat{n}\) é dada por

\[ R_{\hat{n}}(\phi) = e^{-i\phi \vec{\sigma} \cdot \hat{n}/2} \]

em que

\[ \hat{n} = (n_x, n_y, n_z) \]

é um vetor unitário

\[ n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1 \]

e o vetor cujas entradas são matrizes de Pauli é escrito como

\[ \vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z). \]

Sendo assim,

\[ \vec{\sigma} \cdot \hat{n} = n_x\sigma_x + n_y\sigma_y + n_z\sigma_z. \]

Agora vamos conectar a rotação com uma evolução unitária na mecânica quântica.

a)

Utilizando a expansão em série de Taylor de \(R_{\hat{n}}(\phi)\), primeiro mostre que

\[ (\vec{\sigma} \cdot \hat{n})^2 = 1 \]

para em seguida concluir que

\[ R_{\hat{n}}(\phi) = \cos(\phi/2)1 - i\vec{\sigma}\cdot\hat{n}\sin(\phi/2). \]

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b)

Considere um hamiltoniano que descreve um sistema quântico de dois níveis (qubit) qualquer

\[ H = \begin{bmatrix} h_{00} & h_{01} \ h_{01}^* & h_{11} \end{bmatrix} \]

em que

\[ h_{01} = h_R + ih_I \]

e

\[ h_{00}, h_{11}, h_R, h_I \in \mathbb{R}. \]

Escreva este hamiltoniano em função das matrizes de Pauli e da identidade

\[ {1, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z}. \]

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c)

Mostre que o operador descrito na equação anterior é um operador unitário.

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d)

Um operador unitário \(U\) pode ser escrito como

\[ U = e^{i\alpha}R_{\hat{n}}(\phi), \]

onde

\[ \alpha \in \mathbb{R}. \]

Considere agora que o operador de evolução em questão é o operador de evolução temporal

\[ U(t,0) = e^{-iHt/\hbar}. \]

Encontre a correspondência entre os parâmetros do hamiltoniano

\[ {h_{00}, h_{11}, h_R, h_I}, \]

\(t\) e \(\hbar\) com os parâmetros da rotação

\[ \phi, n_x, n_y, n_z \]

e \(\alpha\).

Dica

Utilize a forma do hamiltoniano descrita no item b e lembre que qualquer vetor unitário pode ser escrito como

\[ \hat{r} = \frac{\vec{r}}{||\vec{r}||}. \]

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e)

Quais as condições sobre os parâmetros do hamiltoniano para que tenhamos rotações em cada um dos eixos \(x\), \(y\) e \(z\)?

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f)

Encontre as relações entre os parâmetros do hamiltoniano e o tempo de evolução para que as portas lógicas quânticas \(H\) (Hadamard) e \(Y\) sejam implementadas.

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2. Considere o seguinte estado quântico

\[ \ket{\psi(\theta,\phi)} = \cos(\theta/2)\ket{0} + e^{i\phi}\sin(\theta/2)\ket{1}. \]

a)

Quais são as probabilidades de encontrar o estado do sistema nos autoestados dos observáveis \(X\), \(Y\) e \(Z\) após a medida destes observáveis?

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b)

Calcule o valor esperado dos operadores \(X\), \(Y\) e \(Z\).

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c)

A relação de incerteza Robertson-Heisenberg é dada por

\[ \Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{|\bra{\psi}[A,B]\ket{\psi}|}{2}, \]

em que \(A\) e \(B\) são dois operadores hermitianos.

Verifique a validade desta relação para

\[ A = X \]

e

\[ B = Y. \]

Para qual ou quais valores de \(\theta\) o produto das incertezas é máximo?

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3. Considere que o sistema quântico encontre-se no estado de Bell

\[ \ket{\psi^-} = \frac{\ket{01} - \ket{10}}{\sqrt{2}}. \]

Calcule o valor esperado do seguinte operador

\[ Z_1 \otimes \frac{Z_2 - X_2}{\sqrt{2}}. \]

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