Transformações Lineares

Transformação Linear e Operador Linear

Uma transformação linear é uma aplicação \(T \colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m\) que respeita a soma e a multiplicação por escalar, ou seja, tal que valem:

• (TL1) Preservação da soma:

  \[ T(\ket{\phi} + \ket{\psi}) = T\ket{\phi} + T\ket{\psi} \]

• (TL2) Preservação do produto por escalar:

  \[ T( z\ket{\psi} ) = z \cdot T\ket{\psi} \ . \]

Um operador linear é uma transformação linear \(A \colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n\) (\(m=n\)).

Exemplo

A função \(H \colon \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2\) dada por

\[ H \left( a_0 \ket{0} + a_1 \ket{1} \right) = \frac{a_0 + a_1}{\sqrt{2}} \ket{0} + \frac{a_0-a_1}{\sqrt{2}} \]

é uma transformação linear. De fato, as propriedades de transformação linear se verificam para \(H\).

• Preservação da soma: Sejam \(\ket{\phi} = a_0 \ket{0} + a_1 \ket{1}\) e \(\ket{\psi} = b_0 \ket{0} + b_1 \ket{1}\).

  \[\begin{split} \begin{array}{rcl} H(\ket{\phi} + \ket{\psi}) &=& H \left( a_0 \ket{0} + a_1 \ket{1} + b_0 \ket{0} + b_1 \ket{1} \right) \\ &=& H\left( (a_0 + b_0) \ket{0} + (a_1 + b_1) \ket{1} \right) \\ &=& \frac{(a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)}{\sqrt{2}} \ket{0} + \frac{(a_0 + b_0) - (a_1 + b_1)}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{a_0 + a_1}{\sqrt{2}} \ket{0} + \frac{a_0-a_1}{\sqrt{2}} + \frac{b_0 + b_1}{\sqrt{2}} \ket{0} + \frac{b_0-b_1}{\sqrt{2}} \\ &=& H \ket{\phi} + H \ket{\psi} \end{array} \end{split}\]

• Preservação do produto por escalar: Sejam \(z \in \mathbb{C}\) e \(\ket{\psi} = a_0 \ket{0} + a_1 \ket{1}\).

  \[\begin{split} \begin{array}{rcl} H(z \ket{\psi}) &=& H \big( z(a_0 \ket{0} + a_1 \ket{1}) \big) \\ &=& H \left( za_0 \ket{0} + za_1 \ket{1}) \right) \\ &=& \frac{za_0 + za_1}{\sqrt{2}} \ket{0} + \frac{za_0-za_1}{\sqrt{2}} \\ &=& z \left( \frac{a_0 + a_1}{\sqrt{2}} \ket{0} + \frac{a_0-a_1}{\sqrt{2}} \right) \\ &=& z\cdot H \ket{\psi} \end{array} \end{split}\]

Funcional Linear

Um funcional linear é uma transformação linear \(f \colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}\) (\(m=1\)). O bra \(\bra{\phi}\) pode ser pensado como um funcional linear que pode atuar em um vetor coluna \(\ket{\psi}\) para resultar no número complexo \(\braket{\phi | \psi}\). Pode-se verificar que todo funcional linear é da forma \(\bra{\phi} = \braket{\phi | \cdot}\) para algum \(\ket{\phi}\).

Exemplo

O bra \(\bra{0}\) é um funcional linear que leva \(\ket{\psi}\) no coeficiente \(\braket{0 | \psi}\) da projeção na direção \(\ket{0}\). Igualmente, o bra \(\bra{1}\) é um funcional linear que leva \(\ket{\psi}\) no coeficiente \(\braket{1 | \psi}\) da projeção na direção \(\ket{1}\).

Projeção e Relação de Completude

Se \(\ket{u}\) for unitário, o funcional linear \(\bra{u}\) leva um ket \(\ket{\psi}\) em \(\braket{u | \psi}\), que corresponde ao coeficiente da projeção de \(\ket{\psi}\) na direção de \(\ket{u}\).

O vetor \(\braket{u | \psi}\ket{u}\) é a projeção de \(\ket{\psi}\) na direção do vetor unitário \(\ket{u}\). Movendo-se o número \(\braket{u | \psi}\) para a direita, pode-se escrever essa projeção como \(\text{proj}_{\ket{u}} \ket{\psi} = \ket{u}\bra{u}\ket{\psi}\). O operador \(\ket{u}\bra{u}\) é, então, chamado operador projeção na direção de \(\ket{u}\)

Se \(\beta = \{\ket{b_0}, \ldots, \ket{b_{n-1}} \}\) é uma base ortonormal, pode-se escrever qualquer vetor \(\ket{\psi}\) como soma das suas projeções ortogonais sobre as direções definidas pelos vetores da base. Dessa forma, tem-se

\[ \ket{\psi} = \sum_{k=0}^{n-1} \braket{b_k | \psi} \ket{b_k} = \sum_{k=0}^{n-1} \ket{b_k}\braket{b_k | \psi} \ \ . \]

Segue que

\[ \sum_{k=0}^{n-1} \ket{b_k}\bra{b_k} = I \ , \]

expressão conhecida como relação de completude.

Exemplo

A projeção ortogonal da direção do vetor \(\ket{0}\) é o operador \(\ket{0}\bra{0}\), visto que sua ação em um ket \(\ket{\psi}\) é dada por \(\ket{0}\bra{0} \ket{\psi} = \braket{0 | \psi} \ket{0}\) e a projeção ortogonal na direção de \(\ket{1}\) é o operador de projeção \(\ket{1}\bra{1}\), pois \(\ket{1}\bra{1} \ket{\psi} = \braket{1 | \psi} \ket{1}\).

A relação de completude no espaço vetorial dos estados de 1 qubit, \(\mathbb{C}^2\), é dada por

\[ I = \ket{0}\bra{0} + \ket{1}\bra{1} \ . \]

Definição de uma Transformação Linear nos Elementos da Base

Para definir uma transformação linear, basta que se forneça como ela atua nos elementos de uma base. Isto é, dada \(\beta = \{\ket{b_0}, \ldots, \ket{b_{n-1}} \}\) base de \(\mathbb{C}^n\), pode-se obter \(T\ket{\psi}\) conhecendo-se \(T\ket{b_k}\) para todo \(k\). De fato, como \(\beta\) base, pode-se escrever \(\ket{\psi}\) como combinação linear

\[ \ket{\psi} = \sum_k a_k \ket{b_k} \ \ . \]

Aplicando-se a transformação \(T\) e usando a linearidade, obtém-se

\[ T\ket{\psi} = \sum_k a_k T\ket{b_k} \ \ , \]

e dessa forma, \(T\ket{\psi}\) pode ser obtido a partir dos \(T\ket{b_k}\)’s.

Exemplo

Considere o operador linear em 1 qubit \(X \colon \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2\) definido nos vetores da base computacional por

\[\begin{split} \begin{array}{l} X\ket{0} = \ket{1} \\ X \ket{1} = \ket{0} \end{array} \end{split}\]

O operador \(X\) está bem definido em todo \(\ket{\psi} = a \ket{0} + b \ket{1}\) graças à sua linearidade:

\[ X\ket{\psi} = X\big(a \ket{0} + b \ket{1}\big) = a X\ket{0} + b X \ket{1} = a \ket{1} + b \ket{0} \ . \]

Matriz de uma Transformação Linear

Seja \(T \colon U= \mathbb{C}^n \to V=\mathbb{C}^m\) uma transformação linear. Sejam \(\beta_U = \{\ket{u_0}, \ldots, \ket{u_{n-1}} \}\) base de \(U\) e \(\beta_V = \{ \ket{v_0} , \ldots , \ket{v_{n-1}} \}\) base de \(V\). Quando fixadas bases para os espaços vetoriais do domínio e do contradomínio de \(T\), é possível representar a transformação \(T\) por uma matriz, de forma que a atuação de \(T\) sobre um vetor \(\ket{\psi}\) é equivalente ao produto matriz-vetor coluna.

A matriz da transformação linear \(T\) nas bases \(\beta_U\) e \(\beta_V\) é dada por:

\[\begin{split} [T]^{\beta_U}_{\beta_V} = \left[ \begin{matrix} | & & | \\ [T(u_0)]_{\beta_V} & \cdots & [T(u_{n-1})]_{\beta_V} \\ | & & | \end{matrix} \right] \in M(m,n) \end{split}\]

Definida dessa forma, vale que:

\[ [T\ket{\psi}]_{\beta_V} = [T]^{\beta_U}_{\beta_V} \cdot [\ket{\psi}]_{\beta_U} \ \ , \]

portanto, a atuação da matriz de \(T\) sobre um ket é equivalente à multiplicação matriz-vetor coluna levando-se em consideração as bases previamente fixadas.

Considere que as bases \(\beta_U\) e \(\beta_V\) sejam ortonormais. Cada vetor \(T\ket{u_k}\) pode ser escrito na base \(\beta_V\) da seguinte forma:

\[\begin{split} [T\ket{u_k}]_{\beta_V} = \begin{bmatrix} \braket{v_0 | Tu_k} \\ \braket{v_1 | Tu_k} \\ \vdots \\ \braket{v_{m-1}}{Tu_k} \end{bmatrix}_{\beta_V} \ , \end{split}\]

tendo em vista que a \(l\)-ésima entrada do vetor é o coeficiente da projeção de \(\ket{Tu_k}\) na direção do \(l\)-ésimo vetor da base em \(V\). Assim, a entrada de linha \(l\) e coluna \(k\) da matriz \([T]^{\beta_U}_{\beta_V}\) é \(\braket{v_l | Tu_k}\), com \(l = 0, \ldots , m-1\) e \(k=0, \ldots , n-1\) e consequentemente

\[\begin{split} [T]^{\beta_U}_{\beta_V} = \begin{bmatrix} \braket{v_0 | Tu_0} & \braket{v_0 | Tu_1} & \ldots & \braket{v_0 | Tu_{n-1}} \\ \braket{v_1 | Tu_0} & \braket{v_1 | Tu_1} & \ldots & \braket{v_1 | Tu_{n-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \braket{v_{m-1}}{Tu_0} & \braket{v_{m-1}}{Tu_1} & \ldots & \braket{v_{m-1}}{Tu_{n-1}} \end{bmatrix} \ . \end{split}\]

No caso de um operador linear, tem-se \(U=V\) (\(m=n\)), e é possível escolher a mesma base \(\beta = \{\ket{b_0}, \ldots, \ket{b_{n-1}} \}\) para o domínio e o contradomínio da transformação. Essa é uma situação bastante frequente, e a matriz associada ao operador linear é montada da seguinte forma: as colunas da matriz são os vetores \(\ket{Tb_k}\) escritos como vetores coluna na base \(\beta\). Portanto:

\[\begin{split} [T]_{\beta} = [T]^{\beta}_{\beta} = \left[ \begin{matrix} | & & | \\ \big[\ket{Tb_0}\big]_{\beta} & \cdots & \big[\ket{Tb_{n-1}}\big]_{\beta} \\ | & & | \end{matrix} \right] \end{split}\]

Se a base \(\beta\) for ortonormal, obtém-se que

\[\begin{split} [T]_{\beta} = \begin{bmatrix} \braket{b_0 | Tb_0} & \braket{b_0 | Tb_1} & \ldots & \braket{b_0 | Tb_{n-1}} \\ \braket{b_1 | Tb_0} & \braket{b_1 | Tb_1} & \ldots & \braket{b_1 | Tb_{n-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \braket{b_{n-1}}{Tb_0} & \braket{b_{n-1}}{Tb_1} & \ldots & \braket{b_{n-1}}{Tb_{n-1}} \end{bmatrix} \ . \end{split}\]

Exemplo

Um operador linear \(A\) sobre um qubit pode ser escrito como uma matriz (na base computacional) \(2\times2\) com coeficientes complexos da seguinte forma:

\[\begin{split} [A] = \left[ \begin{matrix} | & | \\ \big[ A\ket{0}\big] & \big[ A\ket{1}\big] \\ | & | \end{matrix} \right] = \begin{bmatrix} \phantom{\Big(} \! \! \! \bra{0}A\ket{0} & \bra{0}A\ket{1} \ \ \\ \phantom{\Big(}\! \! \! \bra{1}A\ket{0} & \bra{1}A\ket{1} \ \ \end{bmatrix} \ \ , \end{split}\]

com \([\cdot]\) significando que os vetores em questão estão escritos como vetores coluna na base computacional. É frequente denotar a matriz do operador \(A\) pelo mesmo símbolo \(A\), quando está implícito qual base é considerada.

Exemplo

A matriz da transformação linear do exemplo Transformação Linear nos Elementos da Base, na base computacional, é obtida escrevendo-se a ação de \(X\) sobre os vetores da base.

\[\begin{split} \begin{array}{l} X\ket{0} = \ket{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \\ X \ket{1} = \ket{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \ . \end{array} \end{split}\]

Em seguida, monta-se a matriz fazendo

\[\begin{split} X = \left[ \begin{matrix} | & | \\ X\ket{0} & X\ket{1} \\ | & | \end{matrix} \right] = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \ . \end{split}\]

Matrizes de Pauli

As matrizes

\[\begin{split} X = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \ \ , \ \ \ Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & \phantom{-}0 \end{bmatrix} \ \ \text{e} \ \ \ Z = \begin{bmatrix} 1 & \phantom{-}0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \end{split}\]

são conhecidas como matrizes de Pauli. Essas são representações na base computacional dos operadores \(X\), \(Y\) e \(Z\). Usa-se, costumeiramente, a mesma notação para se referir ao operador e à sua matriz na base computacional.

Em determinadas situações, a matriz identidade \(I\) também é chamada matriz de Pauli, e usa-se a notação alternativa

\[ I = \sigma_0 \ \ , \ \ \ X = \sigma_x = \sigma_1 \ \ , \ \ \ Y = \sigma_y = \sigma_2 \ \ \text{e} \ \ \ Z = \sigma_z = \sigma_3 \ . \]

Matriz da Composição de Transformações Lineares

A composição de transformações lineares \(T \colon U \to V\) e \(R \colon V \to W\) é a transformação linear denotada por \(R T = R \circ T \colon U \to W\) e tal que \(RT(\ket{\psi}) = R \Big( T\big(\ket{\psi}\big) \Big)\) para todo \(\ket{\psi}\). A matriz dessa transformação linear pode ser obtida pela multiplicação matricial das matrizes de \(R\) e de \(T\):

\[ [RT]^{\beta_U}_{\beta_W} = [R]^{\beta_U}_{\beta_V} \cdot [T]^{\beta_V}_{\beta_W} \ , \]

em que \(\beta_U\), \(\beta_V\) e \(\beta_W\) são bases de \(U\), \(V\) e \(W\), respectivamente.

Mudança de Base

Para escrever a matriz de uma transformação linear \(T\colon U \to V\) em novas bases \(\beta_U^\prime\) e \(\beta_V^\prime\) basta aplicar matrizes de mudança de base de maneira apropriada.

\[ [T]^{\beta_U^\prime}_{\beta_V^\prime} = [I]^{\beta_U^\prime}_{\beta_U} [T]^{\beta_U}_{\beta_V} [I]^{\beta_V}_{\beta_V^\prime} \ . \]

No caso de um operador linear \(A \colon V \to V\), pode-se usar a mesma base nos espaços vetoriais do domínio e do contradomínio da função. A mudança de base nesse caso fica:

\[ [A]^{\beta_U^\prime}_{\beta_U^\prime} = [I]^{\beta_U^\prime}_{\beta_U} [A]^{\beta_U}_{\beta_U} [I]^{\beta_U}_{\beta_U^\prime} = \big( [I]^{\beta_U}_{\beta_U^\prime} \big)^{-1} [A]^{\beta_U}_{\beta_U} \big( [I]^{\beta_U}_{\beta_U^\prime} \big) \ . \]

A transformação matricial \([A] \to [A]^\prime = [M]^{-1} [A] [M]\) é conhecida como transformação de similaridade. Duas transformações conectadas dessa forma são ditas matrizes semelhantes. As matrizes semelhantes são representantes de um mesmo operador linear escrito em bases diferentes.

Se as bases \(\beta_U\) e \(\beta_U^\prime\) forem ortonormais, a fórmula para mudança de base fica:

\[ [A]^{\beta_U^\prime}_{\beta_U^\prime} = [I]^{\beta_U^\prime}_{\beta_U} [A]^{\beta_U}_{\beta_U} [I]^{\beta_U}_{\beta_U^\prime} = \big( [I]^{\beta_U}_{\beta_U^\prime} \big)^{\dagger} [A]^{\beta_U}_{\beta_U} \big( [I]^{\beta_U}_{\beta_U^\prime} \big) \ , \]

em que a operação simbolizada por \(\dagger\) é a transposição e conjugação da matriz. Essa operação será introduzida formalmente na seção Operador Adjunto.

Matrizes de Pauli

Considere as bases \(\mathcal{I}\) e \(\mathcal{X}\) apresentadas no exemplo [Base para 1 qubit]. A matriz de mudança de base de \(\mathcal{I}\) para \(\mathcal{X}\) e vice-versa é a matriz de Hadamard \(H\), como visto no exemplo Matrix Mudança de Base. O operador \(X\), visto no exemplo Matrizes de Pauli, cuja matriz na base computacional é

\[\begin{split} X = [X]_{\mathcal{I}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \end{split}\]

pode ser representado na base \(\mathcal{X}\) por

\[\begin{split} \begin{split} [X]_{\mathcal{X}} &= [I]^{\mathcal{I}}_{\mathcal{X}} [X]_\mathcal{I} [I]^{\mathcal{X}}_{\mathcal{I}} \\ &= H X H \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ &= Z \ . \end{split} \end{split}\]