Produto Tensorial

É possível compor dois espaços vetoriais para formar um terceiro espaço. Uma maneira de fazer isso é por meio do produto tensorial. Em Computação Quântica, essa construção é fundamental para se trabalhar com sistemas compostos por mais de um qubit. Um sistema de dois qubits será o produto tensorial de dois espaços \(\mathbb{C}^2\), que modelam um qubit.

Espaço Vetorial do Produto Tensorial

Dados dois espaços vetorias \(V\) e \(W\), com bases \(\beta_V = \{ \ket{v_k} \}\) e \(\beta_W = \{ \ket{w_l} \}\), o produto tensorial de \(V\) e \(W\), denotado por \(V\otimes W\), é definido como o espaço vetorial gerado pela base:

\[\begin{split} v_k \otimes w_l \ , \ \ \begin{matrix} k=0 , \ldots , \dim V - 1 \\ l=0 , \ldots , \dim W - 1 \end{matrix} \ . \end{split}\]

A dimensão do espaço vetorial do produto tensorial é, portanto,

\[ \dim V\otimes W = \dim V \cdot \dim W \ . \]

O produto tensorial \(\otimes\) forma uma dupla ordenada com propriedades diferentes das do produto cartesiano. Essas propriedades, listadas abaixos, são chamadas conjuntamente de bilinearidade:

• Para todos \(z \in \mathbb{C}\), \(\ket{v}\in V\) e \(\ket{w} \in W\),

  \[ z \cdot (\ket{v} \otimes \ket{w}) = (z\ket{v}) \otimes \ket{w} = \ket{v} \otimes(z\ket{w}) \ . \]

• Para todos \(\ket{v^1},\ket{v^2}\in V\) e \(\ket{w} \in W\),

  \[ (\ket{v^1}+ \ket{v^2}) \otimes \ket{w} = \ket{v^1} \otimes \ket{w} + \ket{v^2} \otimes \ket{w} \ . \]

• Para todos \(\ket{v}\in V\) e \(\ket{w^1},\ket{w^2} \in W\),

  \[ \ket{v} \otimes (\ket{w^1} + \ket{w^2}) = \ket{v} \otimes \ket{w^1} + \ket{v} \otimes \ket{w^2} \ . \]

Um elemento genérico do espaço \(V\otimes W\) é uma combinação linear dos vetores da base \(\ket{v_k} \otimes \ket{w_l}\). Em geral, essa combinação não pode ser escrita da forma fatorada \(\ket{v} \otimes \ket{w}\).

Exemplo

O sistema composto por 2 qubits é dado pelo produto tensorial de dois espaços vetoriais de 1 qubit. Esse espaço vetorial é denotado por \(\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2\). A base desse espaço é formada pelos 4 vetores

\[\begin{split} \begin{array}{rcl} \ket{00} &=& \ket{0} \ket{0} = \ket{0} \otimes \ket{0} \\ \ket{01} &=& \ket{0} \ket{1} = \ket{0} \otimes \ket{1} \\ \ket{10} &=& \ket{1} \ket{0} = \ket{1} \otimes \ket{0} \\ \ket{11} &=& \ket{1} \ket{1} = \ket{1} \otimes \ket{1} \ , \end{array} \end{split}\]

e as igualdades apresentadas acima apenas referem-se a notações alternativas e mais compactas. A ordem em que as entradas aparecem no produto tensorial é importante, de forma que \(\ket{01} \neq \ket{10}\), por exemplo.

Um vetor qualquer \(\ket{\psi} \in \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2\) pode ser escrito como

\[ \ket{\psi} = a \ket{00} + b\ket{01} + c \ket{10} + d\ket{11} \ , \]

com \(a,b,c,d \in \mathbb{C}\). Alguns exemplos de vetores pertencentes ao espaço em questão são:

\[ \frac{\ket{00} + \ket{11}}{\sqrt{2}} \]

\[ \ket{0} \otimes \left(\ket{0} + 2\ket{1} \right) = \ket{00} + 2 \ket{01} \]

\[ \left( 5\ket{1}\right) \ket{1} = 5 \ket{11} \]

\[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{0} - \frac{i}{\sqrt{2}} \right) \ket{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{00} - \frac{i}{\sqrt{2}}\ket{10} \ . \]

As igualdades acima são exemplos da bilinearidade do produto tensorial.

Comparação do Produto Tensorial com o Produto Cartesiano

O produto cartesiano, às vezes chamado soma direta é outra maneira de se compor dois espaços vetoriais em um espaço “maior”, denotado por \(V \times W\) ou por \(V \oplus W\). O produto cartesiano é formado por duplas \(\big( \ket{v} , \ket{w} \big)\), com \(\ket{v} \in V\) e \(\ket{w} \in W\). Nesta subseção, a notação \(( \cdot \, , \cdot )\) refere-se a par ordenado em vez de produto interno como no restante do texto.

As diferenças entre essas duas operações estão dispostas no que segue:

Tabela 2 Tabela comparativa entre produto tensorial e produto cartesiano (também chamado soma direta)

	Produto Tensorial	Produto Cartesiano ou Soma Direta
Notação:	\(V \otimes W\)	\(V \times W = V \oplus W\)
Base:	\(\ket{v_k} \otimes \ket{w_l}\)	\(\big( \ket{v_k} , 0 \big) \ , \ \big( 0 , \ket{w_l} \big)\)
Dimensão:	\(\dim V \otimes W = \dim V \cdot \dim W\)	\(\dim V \oplus W = \dim V + \dim W\)

Outra diferença é que a soma, no produto cartesiano, é uma soma entrada a entrada

\[ \big( \ket{v^1} , \ket{w^1} \big) + \big( \ket{v^2} , \ket{w^2} \big) = \big( \ket{v^1} + \ket{v^2} , \ket{w^1} + \ket{w^2} \big) \ , \]

enquanto que a soma no produto tensorial, de modo geral, não se reduz

\[ \ket{v^1} \otimes \ket{w^1} + \ket{v^2} \otimes \ket{w^2} \ , \]

a não ser que, por exemplo, \(\ket{v^1} = \ket{v^2}\), de modo que

\[ \ket{v^1} \otimes \ket{w^1} + \ket{v^1} \otimes \ket{w^2} = \ket{v^1} \otimes \big( \ket{w^1} + \ket{w^2} \big) \ . \]

A multiplicação por escalar no produto cartesiano também é entrada a entrada

\[ z \cdot \big( \ket{v} , \ket{w} \big) = \big( z\ket{v} , z\ket{w} \big) \ , \]

enquanto que, no produto tensorial, o escalar pode ser incorporado a qualquer das duas entradas, mas deve ir para apenas uma delas

\[ z \cdot \big(\ket{v} \otimes \ket{w}\big) = \big(z\ket{v}\big) \otimes \ket{w} = \ket{v} \otimes \big(z\ket{w} \big) \ . \]

Produto Interno

Sejam \(V\) e \(W\) espaços de Hilbert, isto é, espaços munidos de produto interno. O produto tensorial \(V\otimes W\) pode ser munido com um produto interno derivado dos produtos internos de \(V\) e de \(W\). Defina:

\[\begin{split} \begin{array}{rcl} \Big( \ket{v_k}\otimes \ket{w_l} , \ket{v_{k^\prime}}\otimes \ket{w_{l^\prime}} \Big) &=& \Big( \ket{v_k} , \ket{v_{k^\prime}} \Big)_V \cdot \Big( \ket{w_l} , \ket{w_{l^\prime}} \Big)_W \nonumber \\ &=& \braket{v_k | v_{k^\prime}} \cdot \braket{w_l | w_{l^\prime}} = \delta_{k,k\prime} \delta_{l,l^\prime} \ , \quad \quad \quad \end{array} \end{split}\]

estendendo a definição para elementos arbitrários do produto tensorial por linearidade na segunda entrada e antilinearidade na primeira.

Para dois vetores da forma \(\ket{v^1}\otimes \ket{w^1}\) e \(\ket{v^2}\otimes \ket{w^2}\) do produto tensorial, pode-se denotar

\[ \Big( \ket{v^1}\otimes \ket{w^1} , \ket{v^2}\otimes \ket{w^2} \Big) = \big( \bra{v^1}\otimes \bra{w^1} \big) \big( \ket{v^2}\otimes \ket{w^2} \big) \ , \]

e decorre da definição de produto interno que

\[ \big( \bra{v^1}\otimes \bra{w^1} \big) \big( \ket{v^2}\otimes \ket{w^2} \big) = \braket{v^1 | v^2}_V \cdot \braket{w^1 | w^2}_W \ . \]

Exemplo

O espaço vetorial \(\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2\) que descreve 2 qubits foi apresentado no exemplo Espaço Vetorial de 2 Qubits. O produto interno nesse espaço é explicitado no que segue. Use os índices \(A\) e \(B\) para fazer referência à primeira e à segunda entrada tensorial, respectivamente.

O produto interno dos vetores da base é dado pela equação Produto Interno de Vetores da Base, que se traduz em

\[\begin{split} \begin{array}{rcl} \braket{jk | pq}_{AB} &=& \big( \ket{jk} , \ket{pq} \big)_{AB} \\ &=& \big(\ket{j},\ket{p} \big)_A \cdot \big( \ket{k},\ket{q} \big)_B \\ &=& \braket{j | p}_A \cdot \braket{k | q}_B \\ &=& \delta_{j,p} \cdot \delta_{k,q} = \delta_{jk,pq} \ , \end{array} \end{split}\]

em que \(j,k,p,q = 0,1\). Por exemplo,

\[ \text{$\braket{01 | 01} = 1$, $\braket{11 | 10} = 0$ e $\braket{10 | 01} = 0$ .} \]

Sejam

\[\begin{split} \begin{array}{rcl} \ket{\phi} &=& a_1 \ket{00} + b_1 \ket{01} + c_1 \ket{10} + d_1 \ket{11} \\ \ket{\psi} &=& a_2 \ket{00} + b_2 \ket{01} + c_2 \ket{10} + d_2 \ket{11} \ . \end{array} \end{split}\]

O produto interno de \(\ket{\phi}\) com \(\ket{\psi}\) é dado por

\[\begin{split} \begin{array}{rcl} \braket{\phi | \psi} &=& \big(a_1^{\ *} \bra{00} + b_1^{\ *} \bra{01} + c_1^{\ *} \bra{10} + d_1^{\ *} \bra{11}\big) \big(a_2 \ket{00} + b_2 \ket{01} + c_2 \ket{10} + d_2 \ket{11} \big) \\ & =& a_1^{\ *} a_2 + b_1^{\ *} b_2 + c_1^{\ *} c_2 + d_1^{\ *} d_2 \ . \end{array} \end{split}\]

A norma de \(\ket{\phi}\) é dada por

\[ ||{\ket{\phi}||} = \sqrt{|{a_1}|^2 + |{b_1}|^2 + |{c_1}|^2 + |{d_1}|^2}\ \ . \]

Exemplos:

\[\begin{split} \begin{split} & \left( \frac{\bra{0} + \bra{1}}{\sqrt{2}} \right)_{A} \bra{1}_{B}\ \ket{0}_A \left(\frac{\ket{0}-i\ket{1}}{\sqrt{2}} \right)_B \\ &\ = \ \ \left( \frac{\braket{0 | 0} + \braket{1 | 0}}{\sqrt{2}} \right)_A \left( \frac{\braket{1 | 0} -i \braket{1 | 1}}{\sqrt{2}} \right)_B \\ &\ = \ \ \frac{1+0}{\sqrt{2}} \cdot \frac{0 - i}{\sqrt{2}} = \frac{-i}{2} \end{split} \end{split}\]

\[ ||{\ket{01}|| + i \ket{10}} = \sqrt{|{1}|^2 + |{i}|^2} = \sqrt{2} \ . \]

Operadores

Sejam \(A\) um operador em \(V\) e \(B\) um operador em \(W\). É possível definir um operador em \(V\otimes W\), denotado por \(A\otimes B\) de forma que

\[ (A \otimes B) (\ket{v} \otimes \ket{w}) = A\ket{v} \otimes B\ket{w} \ . \]

Todo operador em \(V \otimes W\) pode ser decomposto em uma combinação linear de operadores da forma apresentada anteriormente.

Pode-se mostrar que a composição, ou produto, de dois operadores \(A \otimes B\) e \(A' \otimes B'\) é dada por:

\[ (A \otimes B) (A' \otimes B') = AA' \otimes BB' \ . \]

Exemplo

Sejam \(X\) e \(H\) operadores no espaço de 1 qubit dados por

\[\begin{split} \begin{array}{ll} \begin{matrix} X\ket{0} = \ket{1} \\ X\ket{1} = \ket{0} \end{matrix} & X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ & \\ \begin{matrix} H\ket{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{0} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{1} \\ H\ket{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{0} - \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{1} \end{matrix} & H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \ . \end{array} \end{split}\]

Esses operadores foram utilizados em vários dentre os exemplos anteriores.

O operador \(H \otimes X\) atua no espaço de 2 qubits como no exemplo abaixo.

\[\begin{split} \begin{split} &H\otimes X \big(\ket{0} \otimes (\ket{0} + i \ket{1} ) \big) \\ &\ \ = H\ket{0} \otimes \big(X(\ket{0} + i \ket{1} ) \big) \\ &\ \ = \left(\frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{2}} \right) \otimes \big( \ket{1} + i \ket{0} \big) \\ &\ \ = \frac{i}{\sqrt{2}}\ket{00} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{01} + \frac{i}{\sqrt{2}}\ket{10} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{11} \ . \end{split} \end{split}\]

Se forem usados rótulos \(1\) e \(2\) para as entradas tensoriais, a conta do exemplo acima poderia ser reescrita como

\[\begin{split} \begin{split} &H_1 X_2 \ket{0}_1 (\ket{0} + i \ket{1} )_2 \\ &\ \ = H_1 \ket{0}_1 X_2(\ket{0} + i \ket{1} )_2 \\ &\ \ = \left(\frac{\ket{0}_1 + \ket{1}_1}{\sqrt{2}} \right) \big( \ket{1}_2 + i \ket{0}_2 \big) \\ &\ \ = \frac{i}{\sqrt{2}}\ket{00}_{12} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{01}_{12} + \frac{i}{\sqrt{2}}\ket{10}_{12} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ket{11}_{12} \ . \end{split} \end{split}\]

Mais detalhes sobre a notação encontram-se na seção Produto Tensorial: Notação.

Produto de Kronecker

Até então, o conceito de produto tensorial foi apresentado de maneira abstrata. É possível abordar esse conceito de maneira matricial também. Fixadas bases para \(V\) e \(W\), os vetores \(\ket{v}\) e \(\ket{w}\) desses espaços podem ser representados como vetores coluna. O vetor \(\ket{v} \otimes \ket{w}\) também pode ser representado como vetor coluna fazendo-se o produto de Kronecker.

\[\begin{split} \ket{v} \otimes \ket{w} = \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ \vdots \\ b_{m-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_0 \ket{w} \\ a_1 \ket{w} \\ \vdots \\ a_{n-1} \ket{w} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_0 b_0 \\ a_0 b_1 \\ \vdots \\ a_0 b_{m-1} \\ a_1 b_0 \\ a_1 b_1 \\ \vdots \\ a_{n-1} b_{m-1} \end{bmatrix} \end{split}\]

Essa operação é mais facilmente compreendida por meio de um exemplo.

Exemplo

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} \\ \\ 2 \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 8 \\ 10 \end{bmatrix} \end{split}\]

O produto tensorial de operadores em \(V\) e \(W\) também pode ser obtido matricialmente por meio do produto de Kronecker.

\[\begin{split} A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{0,0} & \cdots & a_{0,n-1} \\ a_{1,1} & & a_{1,n-1} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n-1,0} & \cdots & a_{n-1,n-1} \end{bmatrix} \otimes B = \begin{bmatrix} a_{0,0}B & \cdots & a_{0,n-1}B \\ a_{1,1}B & & a_{1,n-1}B \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n-1,0}B & \cdots & a_{n-1,n-1}B \end{bmatrix} \end{split}\]

Exemplo

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} & 1 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \\ \\ 1 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} & 0 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{split}\]

O produto de Kronecker, em geral, não é comutativo.

Se \(A \in M(m_A,n_A)\) e \(B \in M(m_B, n_B)\), então a matriz \(A \otimes B\) tem \(m_Am_B\) linhas e \(n_An_B\) colunas, ou seja, \(A\otimes B \in M(m_Am_B,n_An_B)\). Uma forma geral de escrever o elemento \(j,k\) da matriz \(A\otimes B\) é

\[ ( A\otimes B )_{j,k} = a_{\text{quoc}(j,m_B),\text{quoc}(k,n_B)}\ b_{\text{resto}(j,m_B),\text{resto}(k,n_B)} \ \ , \]

em que

\[\begin{split} \begin{split} j &= 0 , 1 , \ldots , m_A m_B - 1 \\ k &= 0 , 1 , \ldots , n_A n_B - 1 \end{split} \end{split}\]

e, para \(x,y\) inteiros,

\[\begin{split} \begin{split} \text{quoc}(x,y) \ \ &\text{é o quociente da divisão $x / y$} \\ \text{resto}(x,y) \ \ &\text{é o resto da divisão $x / y$} \ . \end{split} \end{split}\]

Exemplo

\(A_{2\times2}\) , \(B_{3\times2}\). O elemento \(4,2\) da matriz \(A\otimes B\) pode ser obtido por:

\[ (A \otimes B)_{4,2} = a_{\text{quoc}(4,3),\text{quoc}(2,2)}\ b_{\text{resto}(4,3),\text{resto}(2,2)} = a_{1,1} b_{1,0} \ . \]

A matriz \(A\otimes B*\) está representada abaixo, destacando-se o elemento \(4,2\):

\[\begin{split} A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{0,0} B & a_{0,1} B \\ a_{1,0} B & a_{1,1} B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{0,0} \begin{bmatrix} b_{0,0} & b_{0,1} \\ b_{1,0} & b_{1,1} \\ b_{2,0} & b_{2,1} \end{bmatrix} & a_{0,1} \begin{bmatrix} b_{0,0} & b_{0,1} \\ b_{1,0} & b_{1,1} \\ b_{2,0} & b_{2,1} \end{bmatrix} \\ & \\ a_{1,0} \begin{bmatrix} b_{0,0} & b_{0,1} \\ b_{1,0} & b_{1,1} \\ b_{2,0} & b_{2,1} \end{bmatrix} & \boxed{a_{1,1}} \begin{bmatrix} b_{0,0} & b_{0,1} \\ \boxed{b_{1,0}} & b_{1,1} \\ b_{2,0} & b_{2,1} \end{bmatrix} \end{bmatrix} \ . \end{split}\]

Produto Tensorial de Vários Espaços Vetoriais

O produto tensorial de vários espaços vetoriais segue a mesma ideia do caso de dois espaços, apresentado anteriormente. A dimensão será o produto das dimensões de cada espaço. O produto tensorial é associativo, então não é necessário usar parênteses num produto tensorial de vários espaços. Não é possível comutar os fatores do produto tensorial.

Notação

Em situações práticas, costuma-se usar índices em cada fator do produto tensorial para evitar confusões. Também há variantes que deixam a notação mais curta. Alguns comentários a respeito dessas variantes são abordados nesta seção. Para tratar disso, considere um exemplo em \(V\otimes W \otimes U\).

Pode-se denotar um elemento da forma \(\ket{v} \otimes \ket{w} \otimes \ket{u}\) omitindo-se o símbolo \(\otimes\): \(\ket{v} \ket{w} \ket{u}\). Nesse caso, deve-se tomar cuidado para não confundir essa justaposição com o produto matricial; nas situações de interesse, normalmente o produto matricial não será possível e há menos risco de confusão.

Costuma-se atribuir índices aos fatores: \(\ket{v} \otimes \ket{w} \otimes \ket{u} = \ket{v}_V \otimes \ket{w}_W \otimes \ket{u}_U = \ket{v}_V \ket{w}_W \ket{u}_U\). Ainda, pode-se escrever esse elemento como: \(\ket{v}_1 \ket{w}_2 \ket{u}_3\), ou \(\ket{v \, w \, u}_{VWU}\), ou, ainda, qualquer notação equivalente, que evidencie a que espaço cada ket pertence. Com a identificação por índices, é possível até trocar a ordem em que são escritos; não deve ser confundido com a comutatividade dos fatores, que não é permitida em geral. Assim, pode-se escrever: \(\ket{u}_3 \ket{w}_2 \ket{v}_1\).

Os bras também podem ser rotulados com índices. Por exemplo, escreve-se \(\big( \ket{v}_1 \ket{w}_2 \ket{u}_3\big)^\dagger = {}_1\bra{v} {}_2\bra{w} {}_3\bra{u}\), ou \(\ket{v \, w \, u}_{VWU}^{\ \ \dagger} = {}_{VWU}\bra{v \, w \, u}\).

Considere, agora, os operadores da forma \(A\otimes B\otimes C\), com \(A\), \(B\) e \(C\) operadores nos espaços \(V\), \(W\) e \(U\), respectivamente. É possível também atribuir índices nos operadores para lembrar em que espaço cada um deles atua. Por exemplo, pode-se denotar: \(A_1\otimes B_2\otimes C_3\).

Há situações em que se deseja operar apenas em uma das entradas do produto tensorial. Assim, por exemplo, \(A\ket{v} \otimes \ket{w}\otimes \ket{u} = A_1 \big( \ket{v} \otimes \ket{w}\otimes \ket{u} \big)\). Formalmente, \(A_1 = A \otimes I \otimes I\), nesse caso. O produto (ou composição) dos operadores \(A_1 B_2 C_3\) significa \((A\otimes I \otimes I) (I \otimes B \otimes I)(I \otimes I \otimes C) = AII \otimes IBI \otimes IIC = A\otimes B \otimes C\). Dessa forma, com os índices, pode-se escrever \(A_1 B_2 C_3 = A \otimes B \otimes C\) sem perigo de confusão com o produto matricial de \(A\), \(B\) e \(C\); Pode-se até mesmo trocar a ordem de como são escritos: \(B_2 A_1 C_3 = A\otimes B \otimes C\).

Outra notação bastante utilizada é quando se deseja realizar o produto tensorial entre \(n\) cópias de um vetor \(\ket{\psi}\). Define-se

\[ \ket{\psi}^{\otimes n} = \underbrace{\ket{\psi} \otimes \ket{\psi}}_{\text{$n$ vezes}} \ . \]

Essa notação pode ser utilizada para bras e para operadores: \(\bra{\psi}^{\otimes n}\), \(A^{\otimes n }\). Também é possível usar uma notação análoga ao produtório para denotar, por exemplo,

\[ \bigotimes_{i=1}^{n} A_i \ket{0}_i = A_1 \ket{0}_1 \otimes \ldots \otimes A_n \ket{0}_n = A_1 \ldots A_n \ket{0\ldots 0} \ . \]

Há, pois, diversas maneiras de se denotar os mesmos vetores ou operadores. Essa variedade é útil para permitir a escrita de expressões compactas em diversas situações em que o produto tensorial aparece.